탄성충돌과 비탄성충돌, 운동 에너지 보존

충돌이 있는 경우에는 아주 짧은 시간 동안에 큰 힘이 작용하게 되고, 충돌하는 물체에 큰 운동량의 변화가 생긴다. 

충돌하는 동안에는 대개의 경우, 외부에서 작용하는 힘보다 훨씬 큰 힘이 두 물체 사이에 작용하기 때문에 외력은 무시할 수 있으며, 따라서 운동량 보존법칙이 적용된다.

다른 종류의 충돌은 다른 결과를 가져온다. 경우에 따라서는 충돌한 물체들이 하나가 되어 움직이기도 하고, 튕겨져 나가기도 한다. 이렇게 서로 다른 충돌을 만드는 것은 무엇이며, 탄성충돌, 비탄성충돌, 완전 비탄성충돌과 같은 용어는 어떤 충돌에 어떻게 적용될까? 물체의 충돌 시에 운동량과 마찬가지로 에너지도 보존되는 것일까? 기차, 튀어 오르는 공, 당구공이 이러한 충돌의 다른 점을 설명해 줄 것이다.

 

 

완전 비탄성충돌은 무엇일까?

분석하기 가장 쉬운 충돌은 정면 충돌을 한 후에 한 덩어리가 되어 움직이는 경우이다. 충돌한 두 선수가 하나가 되어 움직였다는 것은 충돌한 후에 우리가 구해야 할 속도가 하나뿐이라는 것을 뜻한다. (완전 비탄성충돌)
충돌한 후에 충돌한 물체가 한 덩어리가 되어 움직이는 경우를 완전 비탄성충돌이라고 한다.

두 물체는 충돌 후에 전혀 튕겨나가지 않는다. 이런 경우에는 충돌하기 전의 총운동량을 알고 있다면 충돌 후의 운동량과 속도를 쉽게 구할 수 있다. 충돌 후에 하나로 연결되는 기차는 이러 한 충돌의 또 다른 예이다. 예제 7.4는 충돌하기 전의 운동량으로부터 운동량 보존법칙을 이용하여 충돌 후의 운동량과 속도를 구하는 예를 보여주고 있다. 이 예제는 앞에서 미식축구 선수의 충돌 후의 속도를 구한 것과 매우 비슷하다. 두 경우 모두 두 물체는 충돌 후에 하나가 되어 움직였다.
예를 들어 1칸의 열차가 정지해 있는 4칸의 열차를 향해 움직이고 있다 하나로 연결되어 진다고 하면 연결된 기차의 질량은 5번째 차량의 질량의 5배이다. 따라서, 운동량이 보존되기 위해서는 충돌 후의 속도는 5번째 차량의 속도의 5분의 1이어야 한다. 충돌 직후의 운동량은 충돌 전의 운동량과 같다. 그러나 속도는 변화되었다. 여기서 충돌 후의 속도는 충돌 직후의 속도를 말한다. 충돌 후에 기차가 움직이기 시작하면 마찰력이 작용하여 기차의 속도는 계속 작아질 것이고, 결국은 정지하게 될 것이다.

 

충돌에서 에너지는 보존되는가?

충돌하기 전의 5번째 차량의 운동 에너지와 충돌한 후에 전체 기차의 운동 에너지는 같은가? 운동 에너지의 식 KE=1/2 mv2을 이용하여 충돌 전후의 운동 에너지를 계산해 볼 수 있다. 5번째 차량의 운동 에너지는 2250 kj이다. 그러나, 충돌 직후의 전체 기차의 운동 에너지는 450 kj이다. 이를 통해 완전 비탄성충돌의 경우에는 운동 에너지의 일부가 소모된다는 것을 알 수 있다.
만약에 기차의 앞에 커다란 스프링을 달아 5번째 차량이 충돌하여 하나가 되는 대신 튕겨나가 게 하면 운동 에너지의 상당한 부분을 보존되게 할 수 있다. 충돌시 물체가 튕겨나간다면 그것은 이 충돌이 완전 비탄성충돌이 아니라 탄성충돌이거나 비탄성충돌이라는 것을 뜻한다. 이들은 에너지에 의해 구별된다.

 

완전 탄성충돌은 충돌시에 에너지가 소모되지 않는 충돌을 말한다. 비 탄성충돌은 에너지의 일부가 소모되는 충돌이다.

그러나 충돌하는 두 물체는 하나가 되지는 않는다. 충돌 후에 두 물체가 하나가 되는 완전 비탄성충돌의 경우가 에너지의 소모가 가장 크다.

대부분의 충돌에서는 충돌이 완전 탄성충돌이 아니기 때문에 일부분의 운동 에너지가 소모된다. 이 과정에서 열이 발생하기도 하고, 물체의 모양이 변형되기도 하며, 음파가 발생하기도 한다. 이것은 모두 운동 에너지가 다른 형태의 에너지로 바뀌는 현상이다. 물체가 튕겨져 나가는 경우에도 모든 충돌을 완전 탄성충돌이라고 할 수 없다. 이런 경우에도 대부분은 부분 탄성충돌 이어서 충돌 시에 일부분의 운동 에너지가 소모된다.

바닥이나 벽에 맞고 충돌하기 전과 같은 속력으로 튀어나오는 공은 완전 탄성충돌의 예이다. 속도의 크기는 변하지 않았으므로(운동의 방향만 바뀜) 운동 에너지는 줄어들지 않는다. 그러나 이것은 이상적인 경우이고 실제의 경우에는 공이 바닥에 충돌하는 경우에도 공의 속력이 약간 줄어들어 운동 에너지의 감소가 있다. 완전 탄성충돌의 정반대의 경우가 충돌 후에 공이 벽에 붙어버리는 완전 비탄성충돌이다. 이 경우에는 충돌 후의 공의 속도가 0이 된다. 

 

따라서, 이 경우에는 충돌 후의 공은 운동 에너지를 모두 잃고 운동 에너지가 0이 된다

 

당구공이 튕겨나갈 때는 어떤 일이 벌어질까?

당구공이 충돌할 때는 아주 작은 에너지만 소모된다(당구치는 것을 물리실험으로 정당화할 수 있을 것이다. 당구를 치는 동안 당신은 완전 탄성충돌을 실제로 경험하게 될 테니까). 당구공의 충돌은 기본적으로 탄성충돌이다. 따라서 당구공의 충돌에서는 운동량과 마찬가지로 에너지도 보존된다.

당구공이 충돌하여 튕겨져 나가는 경우에는 하나의 최종 속도가 아니라 두 개의 최종 속도를 구해야만 한다. 충돌하기 전 물체의 운동량으로부터 충돌 전후의 총운동량을 쉽게 구할 수 있다. 그러나 충돌 후에 충돌한 물체는 각각의 속도를 구하기 위해서는 총 운동량 외에 또 다른 정보가 있어야 한다(두 물체가 충돌 후에 하나가 되어 움직이는 완전 비탄성충돌이 특히 다루기 쉬운 것은 이 때문이다). 탄성충돌에서는 에너지 보존법칙이 또 다른 정보를 제공해 준다.

당구공의 충돌에서 가장 간단한 경우는 흰공이 정지해 있는 다른 공과 정면으로 충돌하는 경우이다.

어떤 일이 일어날까? 공의 회전이 이 충돌에 그리 중요한 역할을 하지 않는다면, 흰 공은 충돌 후에 그 자리에 정지하고 11번 공은 충돌하기 전의 흰 공의 속력으로 같은 방향으로 운동할 것이다. 두 당구공의 질량은 같으므로, 11번 공이 흰 공과 같은 속력으로 앞으로 나갔다면 이 충돌에서 11번 공은 흰 공이 가지고 있던 운동량과 같은 운동량을 얻은 것이 된다. 따라서, 운동량은 보존된다.
이 경우에는 운동 에너지도 보존된다.

흰공은 충돌 전에 운동 에너지를 가지고 있었다. 충돌 후에 흰 공은 정지했으므로 운동 에너지는 0이 되었다. 그러나 11번 공은 충돌 후에 흰 공과 같은 방향으로 같은 속력으로 운동하게 되었으므로 이 충돌에서 흰 공이 가지고 있던 운동 에너지를 얻었다. 두 공이 같은 질량을 가지고 있으므로, 충돌 전후에 운동량과 운동 에너지가 같기 위해서는 이와 같이 충돌한 흰 공이 제자리에 멈추고 충돌당한 공이 같은 속력으로 앞으로 나가야 한다. 

 

이런 현상은 당구를 치는 사람들에게는 잘 알려진 사실이다. 이와 비슷한 현상이 나타나는 장난감이 있다. 장난감에는 여러 개의 쇠 공이 실에 꿰어 금속이나 나무틀에 매달려 있다. 하나의 공을 높이 들었다가 놓으면 처음 공이 다른 공을 때리게 되고 이 공은 다음 공을 때려 결과적으로는 반대쪽 끝에 있던 공이 처음 공과 같은 속력으로 튕겨나가게 된다. 이 경우에도 운동량과 운동 에너지가 보존된다.

만약에 한쪽 끝에 있는 두 개의 공을 들었다가 놓으면 이번에는 두 개의 공이 날아간다. 이 경우에도 운동량과 운동 에너지는 보존된다. 이 장난감을 가지고 이와 비슷한 여러 가지 놀이를 하는 것은 재미도 있고 탄성충돌을 익히는 실험도 될 것이다.

이 장난감의 쇠공이나 당구공과 같은 딱딱한 공의 충돌은 어느 정도 탄성충돌이다. 그러나 우 리의 일상생활에서 일어나는 대부분의 충돌은 탄성충돌이 아니다. 따라서 충돌 과정에서 일부의 운동 에너지가 소모된다. 그러나 충돌 직전과 직후의 운동량은 항상 보존된다.